"Affari tuoi" e le probabilità
articolo di Eugy
dicembre-2006

E' di questi giorni la polemica, amplificata da Striscia la Notizia e da Libero, secondo la quale, durante il noto programma "Affari Tuoi", in onda su Rai 1, avverrebbe un fatto contrario alla probabilità, e cioè il fatto che i pacchi contenenti i premi alti resisterebbero un po' troppe volte fino alle battute conclusive del programma.
Questo, secondo alcuni, al fine di aumentare la suspense e quindi gli ascolti.

Mi tuffo anche io nella disamina del fatto, analizzandolo sotto il profilo squisitamente probabilistico, e - ovviamente - supportando il tutto con un bel programma di simulazione.

Riporto ora, direttamente dal sito di Striscia, la sequenza incriminata delle puntate di Affari Tuoi:
MAR 03.10.2006: 250.000 euro negli ultimi tre pacchi
MER 04.10.2006: 250.000 euro negli ultimi due pacchi
GIO 05.10.2006: 500.000 nei sei pacchi finali
VEN 06.10.2006: 500.000 nei quattro pacchi finali
SAB 07.10.2006: Affari Tuoi non in onda per la Nazionale
DOM 08.10.2006: Fiorello al posto di Affari Tuoi
MAR 10.10.2006: 250.000 euro fino all'ultimo pacco
MER 11.10.2006: Affari Tuoi non in onda per partita Nazionale
VEN 13.10.2006: 500.000 euro negli ultimi sei pacchi
SAB 14.10.2006: 500.000 euro negli ultimi tre pacchi
LUN 16.10.2006: 250.000 euro negli ultimi cinque pacchi
MAR 17.10.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
MER 18.10.2006: Affari Tuoi non in onda per partita Champions
GIO 19.10.2006: 500.000 euro negli ultimi 5 pacchi; 250.000 euro negli ultimi due
VEN 20.10.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
SAB 21.10.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
DOM 22.10.2006: Affari Tuoi non in onda per il GP Brasile
LUN 23.10.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
VEN 27.10.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
SAB 28.10.2006: 100.000 euro nei due pacchi finali
DOM 29.10.2006: 500.000 euro nel pacco finale
MAR 31.10.2006: vincita di 250.000 euro; 500.000 euro nei quattro pacchi finali
GIO 02.11.2006: 250.000 euro nei tre pacchi finali
SAB 04.11.2006: 250.000 euro nei tre pacchi finali
LUN 06.11.2006: 500.000 euro fino all'ultimo pacco
MAR 07.11.2006: 250.000 euro nei due pacchi finali
MER 08.11.2006: 500.000 euro nei quattro pacchi finali
GIO 09.11.2006: 500.000 euro nei cinque pacchi finali
VEN 10.11.2006: Speciale "Affari Tuoi" prima serata (26 pacchi a disposizione), 1.000.000 euro nei due pacchi finali, 250.000 euro negli ultimi sei pacchi, 500.000 euro negli ultimi sette
SAB 11.11.2006: 250.000 euro nei tre pacchi finali
LUN 13.11.2006: 250.000 euro nei cinque pacchi finali

MER 15.11.2006: "Affari Tuoi" non va in onda per la partita Italia-Turchia
GIO 16.11.2006: 250.000 euro fino all'ultimo pacco
VEN 17.11.2006: Speciale "Affari Tuoi" prima serata (26 pacchi a disposizione), 2.000.000 euro nei due pacchi finali, 500.000 euro negli ultimi sei
DOM 19.11.2006: "Affari Tuoi" non in onda sostituito da "Viva Radio 2"
MER 22.11.2006: "Affari Tuoi" non in onda per la partita Inter-Sporting
GIO 23.11.2006: 500.000 euro negli ultimi due pacchi, 250.000 euro negli ultimi quattro pacchi.
VEN 24.11.2006: Speciale "Affari Tuoi" prima serata (26 pacchi a disposizione), 2.000.000 euro nei quattro pacchi finali
SAB 25.11.2006: 500.000 euro nei tre pacchi finali
DOM 26.11.2006: 500.000 euro nei cinque pacchi finali
LUN 27.11.2006: 500.000 euro nei due pacchi finali
VEN 01.12.2006: Speciale "Affari Tuoi" prima serata (26 pacchi a disposizione), 250.000 euro nei quattro pacchi finali.
LUN 04.12.2006: 500.000 euro nei tre pacchi finali
MAR 05.12.2006: 500.000 euro nei tre pacchi finali
MER 06.12.2006: "Affari Tuoi" non in onda per la partita Milan-Lille
GIO 07.12.2006: Rai e Endemol tengono una conferenza stampa per difendere la regolarità di "Affari Tuoi": quella stessa sera, casualità, nessun super-pacco fino alle battute finali.
VEN 08.12.2006: 500.000 euro nei tre pacchi finali
SAB 09.12.2006: 500.000 euro nell'ultimo pacco
DOM 10.12.2006: 250.000 euro nell'ultimo pacco
LUN 11.12.2006: Al via i nuovi orari di prime-time Rai-Mediaset: nessun super-pacco alla fine
MAR 12.12.2006: 250.000 euro nell'ultimo pacco
VEN 15.12.2006: 500.000 euro e 250.000 euro negli ultimi due pacchi (serata Telethon)
LUN 18.12.2006: 250.000 euro nei tre pacchi finali

Tale sequenza, lo vediamo subito, dice di alcune puntate NON in onda, e dice di alcune puntate con i premi alti fino alla fine, ma NULLA dice degli altri giorni mancanti. Visto però che quando il programma NON è andato in onda si sono premurati di farcelo sapere, dovrò assumere che nei giorni mancanti il programma sia andato in onda, e che nessun premio alto sia arrivato agli ultimi 4 pacchi.
Facciamo due conti: dal 3 ottobre al 18 dicembre sono 77 giorni.
Dall'elenco qui sopra desumiamo che:
- 12 giorni sono da eliminare, o perchè il programma non è andato in onda, oppure si trattava di una serata speciale da 26 pacchi (ed io ho fatto i conti su 20 pacchi...).
- le puntate in cui almeno 250.000 Euro sono arrivati fino agli ultimi 4 pacchi sono in numero di 31.
Quindi abbiamo 31 eventi del tipo "Almeno 250.000 Euro negli ultimi 4 pacchi" su un totale di (77-12)=65 puntate.
31 su 65 equivale al 47,69% delle puntate. E' tanto? E' poco? Giudicate voi

Considerazioni probabilistiche

La probabilità che almeno 250.000 € resistano fino agli ultimi 4 pacchi è pari al 36,84%!

Dimostrazione:
A fini probabilistici, noi possiamo assumere che il gioco sia una semplice estrazione dei numeri da 1 a 20, in ordine casuale. Ogni numero, a questo punto equivale ad uno dei premi.

Per determinare se l’evento “almeno 250.000 € negli ultimi 4 pacchi” si verifica o meno, stabiliamo che il premio da 250.000 € sia il numero 19 e che quello da 500.000 € sia il numero 20.

Stabiliamo inoltre che il primo numero estratto sia quello assegnato al concorrente (quindi è il premio che resiste fino alla fine = ultimi 2 pacchi).
Stabiliamo, infine, che i successivi 19 numeri estratti siano i premi nell’ordine con cui vengono chiamati e quindi eliminati. Ovvio quindi che se il 19 o il 20 vengono chiamati alla 17°, 18° o 19° estrazione vorrà dire che hanno “resistito” fino agli ultimi 4, 3 o 2 pacchi.

Questo è un esempio di sequenza (senza l’evento “vincente” che ci interessa):

15-12-5-6-13-20-19-1-4-7-9-10-18-16-17-2-3-11-8-14

Questo è un esempio di sequenza (con l’evento “vincente” che ci interessa: il pacco 20 chiamato per 19° [il 15 è assegnato al concorrente]):

15-12-5-6-13-14-19-1-4-7-9-10-18-16-17-2-3-11-8-20

Quante di queste sequenze esistono?

Fidatevi: il numero totale di permutazioni possibili con 20 numeri, senza ripetizione, è il FATTORIALE DI 20 (notazione matematica: 20! ). Ed è dato dal prodotto 1x2x3x4….x19x20.

Se io FISSO un numero in una posizione, diciamo il 20 in prima posizione, quante sequenze esistono, a questo punto?

Se ho fissato UN numero in UNA posizione, vuol dire che ho ancora 19 numeri da permutare in 19 posizioni, sempre senza ripetizione, quindi il numero di queste sequenze possibili è
fattoriale di 19 (19!). Quindi 1x2x3x4x…x18x19 .

Dato che ho scelto di fissare il 20 in prima posizione, cosa che corrisponde ad uno degli eventi che ci interessa monitorare (il 500.000 € assegnato al concorrente), vuol dire che esistono
19! sequenze, su un totale di 20! , che danno origine a: 500.000 € assegnati al concorrente = 500.000 e negli ultimi due pacchi.

Ora,
19! diviso per 20! fa esattamente 1/20 = 0,05 = 5%

Questa è la probabilità che nella sequenza di 20 numeri casuali ci sia UN DATO numero fissato in UNA DATA posizione.

Vediamo quante e quali sono le sequenze che danno come risultato
"Almeno 250.000 € negli ultimi 4 pacchi": (ricordo che il n° 20 equivale ai 500.000 € e il 19 ai 250.000 €)

1.    20 fissato in PRIMA posizione
2.    19 fissato in PRIMA posizione
3.    20 fissato in 19° posizione
4.    19 fissato in 19° posizione
5.    20 fissato in 18° posizione
6.    19 fissato in 18° posizione
7.    20 fissato in 17° posizione
8.    19 fissato in 17° posizione

Ognuna di queste frasi individua esattamente 19! Sequenze su 20! .

Vediamo come calcolare la probabilità che se ne verifichi almeno UNA.
Non si possono sommare e basta, poiché, in questo modo, si sommerebbero DUE volte alcuni termini, per esempio, tra le sequenze che hanno il 20 in prima posizione, ci sono anche quelle che hanno il 19 in 19° posizione, e viceversa, tra quelle che hanno il 19 in 19° posizione ci sono anche quelle che hanno il 20 in prima posizione.
Dobbiamo escludere queste ripetizioni, vediamo come:

Le sequenze che hanno DUE numeri fissati in DUE posizioni precise, sono ovviamente tutte le permutazioni dei rimanenti 18 numeri nelle rimanenti 18 posizioni, quindi sono
18! su un totale che è sempre 20! .

Allora le sequenze che hanno, per esempio, sia il 20 in prima posizione che il 19 in 19° posizione sono
18! .
Le sequenze che hanno sia il 20 in prima posizione che il 19 in 18° posizione sono ancora
18!.
E ancora, le sequenze che hanno il 20 in prima posizione e anche il 19 in 17° posizione sono ancora
18!.

Allora il conteggio preciso delle possibili sequenze che danno come risultato
Almeno 250.000 € negli ultimi 4 pacchi” sarà il seguente:

1.    20 fissato in PRIMA posizione, ma non quelle che hanno ANCHE il 19 in 17°, 18° o 19° posizione, perché tanto quelle vengono contate dopo.
2.    19 fissato in PRIMA posizione
3.    20 fissato in 19° posizione, ma non quelle che hanno ANCHE il 19 in 1°, 17° o 18° posizione, perché tanto quelle vengono contate dopo o sono già state contate.
4.    19 fissato in 19° posizione
5.    20 fissato in 18° posizione, ma non quelle che hanno ANCHE il 19 in 1°, 17° o 19° posizione, perché tanto quelle vengono contate dopo o sono già state contate.
6.    19 fissato in 18° posizione
7.    20 fissato in 17° posizione, ma non quelle che hanno ANCHE il 19 in 1°, 18° o 19° posizione, perché tanto quelle sono già state contate.
8.    19 fissato in 17° posizione

Contiamole:
1.    sono 19! meno (3 per 18! )    [=19!-(3*18!)]
2.    sono 19!
3.    sono 19! meno (3 per 18! )    [=19!-(3*18!)]
4.    sono 19!
5.    sono 19! meno (3 per 18! )    [=19!-(3*18!)]
6.    sono 19!
7.    sono 19! meno (3 per 18! )    [=19!-(3*18!)]
8.    sono 19!

Allora le sequenze che danno come risultato Almeno 250.000 € negli ultimi 4 pacchi”, sono :
su un totale di 20!

Perciò la probabilità che si verifichi l’evento
Almeno 250.000 € negli ultimi 4 pacchi” è pari a:
che equivale al 36,84% di probabilità, COME VOLEVAMO DIMOSTRARE.



Torniamo ora al risultato reale verificatosi ad Affari Tuoi, secondo la rilevazione di Striscia la Notizia:
31 puntate su 65 con almeno 250.000 Euro fino agli ultimi 4 pacchi.
Avendo detto che la probabilità matematica dell'evento è del 36,84%, il risultato più probabile, su 65 puntate, sarebbe che l'evento si verifichi in (65 x 36,84%) = 24 puntate.
Invece si è verificato 31 volte, possiamo concludere che ci sia un trucco? Si e no...
Indubitabilmente si tratta di un risultato "abbastanza" lontano dalla media tanto da poter essere definito IMPROBABILE. Ma lo si potrebbe definire "Praticamente IMPOSSIBILE"? Ovviamente NO, e questo sia secondo la Teoria delle probabilità (secondo la quale non sarebbe impossibile nemmeno che l'evento si verificasse TUTTE e 65 le volte), sia secondo una normale dose di buon senso.

Buon senso che ora supporteremo con una dimostrazione probabilistica:
Supponiamo di ripetere MOLTE volte il "blocco" delle 65 puntate in sequenza, e di vedere, ogni volta, quante volte si verifica l'evento "Almeno 250.000 Euro fino agli ultimi 4 pacchi".
Abbiamo già detto che la media è 24, quindi MOLTISSIME volte verrà proprio 24, MOLTE volte verrà 22 o 23 oppure 25 o 26.
Ripetendo un grande numero di volte tale esperimento (sequenza di 65 puntate = "estrazione di 65 sequenze casuali dei numeri tra 1 e 20"), la variabile casuale "numero di volte che si verifica l'evento" (su 65) si disporrà secondo una curva Gaussiana, intorno alla media.
Ed eccovene la prova: questo è un grafico dato dalla ripetizione per ben 22.000 volte dell'esperimento.


Come potete vedere il fatto che su 65 puntate si verifichi l'evento che stiamo esaminando per 31 volte, è avvenuto circa 450 volte su 22.000 prove.
Significa che quello che è avvenuto in realtà nel programma televisivo, aveva il 2 % di probabilità di verificarsi.
Che sia poco o tanto lo lascio stabilire a voi, di certo UNA SOLA sequenza da 65 puntate come statistica è un po' pochino...

Ma vi lascio con un ultimo dato... Guardate il prossimo grafico:


Ci potremmo chiedere: "Qual era la probabilità che, su 65 puntate, l'evento "Almeno 250.000 Euro negli ultimi 4 pacchi" si verificasse MENO di 31 volte?"
La risposta è data dalla somma delle percentuali di tutti i numeri fino al 30, quindi il 95%.
Il che, in statistica, significa solamente che la probabilità che invece l'evento si verificasse PIU' di 30 volte, era del 5%

Bene, qui vi lascio. Ognuno si formi le sue conclusioni.
Se volete, potete scrivermi una mail, cliccando qui.
Se volete, invece, potete scaricarvi il programmino in Visual Basic che simula le estrazioni di pacchi ad Affari Tuoi:
Simulatore di Affari Tuoi
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